Partie entière d'une suite récurrente

La suite $(u_n{)}_{n\ge 0}$ est définie par $u_0=2$, $u_1=\frac{5}{2}$ et $u_{n+1}=u_n\left(u_{n-1}^2-2\right)-u_1$ pour $n\ge 1$.

Montrer que pour tout $n\ge 1$ :

$$\lfloor u_n\rfloor =2^{\frac{2^n-(-1{)}^n}{3}},$$

où $\lfloor x\rfloor$ désigne le plus grand entier inférieur ou égal à $x$.

(OIM, 1976)