Périodicité des sommes de puissances de chiffres

Soit $m\ge 1$ un entier donné. Pour tout entier $n\ge 1$ on désigne par $S_m(n)$ la somme des puissances $m$-ème des chiffres de $n$ écrit en base 10. Par exemple, $S_3(172)=1^3+7^3+2^3=352$. On considère la suite $(n_k{)}_{k\ge 0}$ définie par $n_0\ge 1$ et pour tout $k\ge 1$ :

$$n_k=S_m(n_{k-1})$$

1. Pour tout entier $n_0\ge 1$, montrer que la suite $(n_k{)}_{k\ge 0}$ est périodique.
2. Lorsque $n_0$ varie, montrer que l'ensemble formé par les plus petites périodes strictement positives dans la question (1) est un ensemble fini.