Inégalité avec somme de cubes

Régional

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soit $n \geq 1$ un entier naturel. Montrer que :

$1 + \frac{1}{2 ^{3}} + \frac{1}{3 ^{3}} + \dots + \frac{1}{n ^{3}} < \frac{5}{4}$

(Proposé à l'OIM, 1970)