Somme avec carrés de nombres impairs

National

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Déterminer la valeur de la somme :

$\frac{1}{1 ^{2} \cdot 3 ^{2}} + \frac{2}{3 ^{2} \cdot 5 ^{2}} + \dots + \frac{n}{( 2 n - 1 ) ^{2} \cdot ( 2 n + 1 ) ^{2}}$