Identité de puissances symétriques

National

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soient $a, b$ et $c$ des nombres réels non nuls tels que : $a + b + c = 0$ . Montrer que :

$\frac{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}{2} \cdot \frac{a ^{3} + b ^{3} + c ^{3}}{3} = \frac{a ^{5} + b ^{5} + c ^{5}}{5} .$