Système linéaire avec valeurs absolues (OIM 1966)

National

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Résoudre le système d'équations :

$∣ a_{1} - a_{2} ∣ x_{2} + ∣ a_{1} - a_{3} ∣ x_{3} + ∣ a_{1} - a_{4} ∣ x_{4} = 1,$
$∣ a_{2} - a_{1} ∣ x_{1} + ∣ a_{2} - a_{3} ∣ x_{3} + ∣ a_{2} - a_{4} ∣ x_{4} = 1,$
$∣ a_{3} - a_{1} ∣ x_{1} + ∣ a_{3} - a_{2} ∣ x_{2} + ∣ a_{3} - a_{4} ∣ x_{4} = 1,$
$∣ a_{4} - a_{1} ∣ x_{1} + ∣ a_{4} - a_{2} ∣ x_{2} + ∣ a_{4} - a_{3} ∣ x_{3} = 1,$

dans lequel $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ sont des réels fixés, deux à deux distincts. (OIM, 1966)