Somme de produits de termes d'une suite récurrente

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Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

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Si $a_{1} = 1$ et $a_{n + 1} = \frac{1}{1 + \frac{1}{a _{n}}}$ pour $n = 1, 2, \dots, 2020$ , déterminer la valeur de $a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + a_{3} a_{4} + \dots + a_{2020} a_{2021} .$

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