Suite avec opérations conditionnelles sur parité

Soit $(a_n{)}_{n\ge 0}$ la suite définie par $a_0=2021$, et pour tout $n\ge 0$ :

$$a_{n+1}=\{\begin{array}{ll}{a}_n^2-5& \text{si }{a}_n\text{ est impair}\\ \frac{a_n}{2}& \text{si }{a}_n\text{ est pair}\end{array}$$

Montrer qu'il existe $m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tel que : $a_m\ge$2021^{2022^{2023}}$.