Équation fonctionnelle $xP(x) = yP(y)$

Soit $P(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ un polynôme à coefficients entiers $a,b,c,d$ avec $a\ne 0$. Montrer que si $xP(x)=yP(y)$ pour une infinité d'entiers $x,y$ avec $x\ne y$, alors $P$ admet une racine entière.

(Proposé à l'OIM, 2002)