Polynôme et identité avec puissances

Soit $n$ un entier strictement positif. Montrer qu'il existe un polynôme $P$ tel que :

$$P\left(x-\frac{1}{x}\right)=x^n-\frac{1}{x^n}$$

pour tout $x\in {\mathbb{R}}^{\ast }$ si, et seulement si, $n$ est impair.