Fonction constante avec condition d'additivité

Soient $a$ un nombre réel donné, et $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ une fonction telle que $f(0)=\frac{1}{2}$ et :

$$f(x+y)=f(x)f(a-y)+f(y)f(a-x)$$

pour tout $x,y\in \mathbb{R}$. Montrer que $f$ est constante.

(Olympiade Balkanique)