Tableau triangulaire avec progressions et suite arithmétique

Énoncé du problème

Soit $(a_{n})_{n \geq 1}$ une suite réelle. On range ses éléments sous la forme :

$a_{1} a_{2} a_{4} a_{7} ⋮ a_{3} a_{5} a_{8} a_{6} a_{9} a_{10}$

Soit $(b_{n})_{n \geq 1}$ la suite formée par les termes de la première colonne : $a_{1}, a_{2}, a_{4}, a_{7}, \dots$ avec $b_{1} = a_{1} = 1$ . On suppose que $S_{n} = b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n}$ vérifie, pour tout $n \geq 2$ , l'identité :

$\frac{2 b _{n}}{b _{n} S _{n} - S _{n}^{2}} = 1.$

Montrer que $(\frac{1}{S _{n}})_{n \geq 1}$ est une suite arithmétique, et donner la forme explicite (en fonction de $n$ ) du terme général $b_{n}$ .
Si dans le tableau ci-haut, en commençant de la troisième ligne, chaque ligne (en lisant de gauche à droite) est une suite géométrique, et que leurs raisons sont toutes égales à $q > 0$ , déterminer la somme de tous les termes de la $k$ -ème ligne sachant que $a_{81} = - \frac{4}{91}$ .

Tableau triangulaire avec progressions et suite arithmétique

Énoncé du problème

Solution détaillée