Identité algébrique pour progression arithmétique

Régional

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soient $a, b$ et $c$ des nombres réels en progression arithmétique. Montrer que :

$\frac{2}{9} \cdot (a + b + c)^{3} = a^{2} (b + c) + b^{2} (c + a) + c^{2} (a + b)$