Suite itérée et primalité relative des termes

National

Source : Collection Aassila — Olympiades de Mathématiques

Énoncé du problème

Soient $k \geq 1$ un entier fixé, et $(a_{n})_{n \geq 1}$ la suite définie par $a_{1} = k + 1$ et pour tout $n \geq 1$ :

$a_{n + 1} = a_{n}^{2} - k a_{n} + k .$

Montrer que $g cd (a_{n}, a_{m}) = 1$ pour tout entiers strictement positifs $m$ et $n$ avec $m \neq = n$ .