Équation fonctionnelle à trois variables (Biélorussie)

Déterminer tous les triplets $(x,y,z)$, avec $0<x,y,z<1$, vérifiant : $$\left(x+\frac{1}{2x}-1\right)\left(y+\frac{1}{2y}-1\right)\left(z+\frac{1}{2z}-1\right)=\left(1-\frac{xy}{z}\right)\left(1-\frac{yz}{x}\right)\left(1-\frac{zx}{y}\right).$$

(Biélorussie)