Polynôme et contrainte sur variables réelles

Déterminer tous les polynômes $P$ à coefficients réels tels que, pour tous réels $a,b,c$ vérifiant $ab+bc+ca=0$, on ait :

$$P(a-b)+P(b-c)+P(c-a)=2P(a+b+c).$$

(OIM, 2004)