∫ Calcul intégral Question sur 4 pts

Calcul intégral et aire (Sciences Exp)

Primitive ou IPP simple, puis aire en u.a. : où tombent les points au Bac SE.

📋 L'énoncé

On considère la fonction $f$ définie sur $R$ par $f (x) = x e^{x}$ , et on note $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. À l'aide d'une intégration par parties, calculer $I = 0 \int 1 x e^{x} d x$ .

2. En déduire l'aire $A$ , en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe $(C)$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$ .

🔍 Le barème, ligne par ligne où va chaque point

1

Choix correct des fonctions pour l'IPP : $u (x) = x$ et $v^{'} (x) = e^{x}$
+0,5

💡 Le bon découpage est la décision clé : poser $u = x$ pour que la dérivée simplifie l'intégrale.
2

Calcul de $u^{'} (x) = 1$ et $v (x) = e^{x}$
+0,5

💡 Une primitive ou une dérivée fausse fait tout dérailler : ces deux valeurs doivent apparaître.
3

Écriture de la formule : $I = [x e^{x}]_{0}^{1} - 0 \int 1 e^{x} d x$
+0,5

💡 Application de la formule d'IPP : le correcteur attend la ligne complète.
4

Évaluation du crochet : $[x e^{x}]_{0}^{1} = 1 \cdot e^{1} - 0 \cdot e^{0} = e$
+0,5

💡 Erreur fréquente : oublier que le terme en $0$ s'annule. Montrer le remplacement des bornes sécurise le point.
5

Calcul de l'intégrale restante : $0 \int 1 e^{x} d x = [e^{x}]_{0}^{1} = e - 1$
+0,5

💡 Primitive directe de $e^{x}$ : un point facile à condition de ne pas oublier le $- 1$ .
6

Conclusion du calcul : $I = e - (e - 1) = 1$
+0,5

💡 Le résultat final $I = 1$ est attendu noir sur blanc.
7

Justification du signe : sur $[0; 1]$ , $f (x) \geq 0$ donc l'aire vaut $A = 0 \int 1 f (x) d x$
+0,5

💡 Sans cette justification de positivité, le passage de l'intégrale à l'aire n'est pas légitime.
8

Conclusion de l'aire : $A = I = 1$ unité d'aire
+0,5

💡 La réponse doit être donnée en unités d'aire (u.a.). Oublier l'unité coûte ce dernier point.

Total de la question 4 points

🪙 Bloqué ? Voici comment grappiller des points

Même bloqué, tu peux récolter plusieurs points :

Pose la formule d'IPP $\int u v^{'} = [uv] - \int u^{'} v$ même sans aller au bout.
Identifie $u = x$ et $v^{'} = e^{x}$ et écris $u^{'}$ et $v$ : ces lignes sont notées indépendamment du résultat.
Justifie la positivité : sur $[0; 1]$ , $x \geq 0$ et $e^{x} > 0$ donc $f (x) \geq 0$ . Cette phrase vaut un point.
N'oublie jamais l'unité « u.a. » dans la conclusion.

✍️ La même réponse, mal puis bien rédigée

Bâclée : calcul sans annoncer $u, v^{'}, u^{'}, v$ , erreur de signe sur le crochet, aire donnée sans justifier $f \geq 0$ ni l'unité.

Complète : $u = x$ , $v^{'} = e^{x}$ , $u^{'} = 1$ , $v = e^{x}$ ; $I = [x e^{x}]_{0}^{1} - 0 \int 1 e^{x} d x = e - (e - 1) = 1$ ; sur $[0; 1]$ , $f \geq 0$ donc $A = I = 1$ u.a.