🎲 Probabilités Question sur 4 pts

Probabilités : loi binomiale (Sciences Exp)

Reconnaître la loi binomiale et calculer : où vont les points (Bac SE).

📋 L'énoncé

Une urne contient $8$ boules indiscernables au toucher : $3$ boules rouges et $5$ boules vertes. On effectue $4$ tirages successifs avec remise d'une boule de l'urne.

On considère la variable aléatoire $X$ égale au nombre de boules rouges obtenues à l'issue des $4$ tirages.

Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
Calculer la probabilité $p (X = 2)$ d'obtenir exactement deux boules rouges.
Calculer la probabilité $p (X \geq 1)$ d'obtenir au moins une boule rouge.
Déterminer l'espérance $E (X)$ et interpréter le résultat.

🔍 Le barème, ligne par ligne où va chaque point

1

Identifier l'épreuve de Bernoulli : « tirer une boule rouge » (succès, $p = \frac{3}{8}$ ) / sinon (échec)
+0,5

💡 C'est le point de départ : nommer le succès et donner $p = \frac{3}{8}$ .
2

Justifier la répétition : $4$ tirages identiques et indépendants (tirages avec remise)
+0,5

💡 Le mot « avec remise » garantit l'indépendance et la constance de $p$ : c'est ce qui valide la loi binomiale.
3

Conclure : $X$ suit la loi binomiale $B (4; \frac{3}{8})$
+0,5

💡 Préciser explicitement $n = 4$ et $p = \frac{3}{8}$ : la réponse attendue à la question 1.
4

Écrire la formule : $p (X = k) = (k 4) (\frac{3}{8})^{k} (\frac{5}{8})^{4 - k}$
+0,5

💡 Poser la formule générale avant de remplacer rapporte même si le calcul final dérape.
5

Calculer $p (X = 2) = (2 4) (\frac{3}{8})^{2} (\frac{5}{8})^{2} = \frac{1350}{4096} \approx 0, 330$
+0,5

💡 Application directe : $(2 4) = 6$ , puis $6 \times 9 \times 25 = 1350$ sur $8^{4} = 4096$ .
6

Poser l'événement contraire : $p (X \geq 1) = 1 - p (X = 0)$
+0,5

💡 Le réflexe « au moins un » $\Rightarrow$ passer par le complémentaire.
7

Calculer $p (X = 0) = (\frac{5}{8})^{4} = \frac{625}{4096}$ puis $p (X \geq 1) = \frac{3471}{4096} \approx 0, 847$
+0,5

💡 Mener le calcul jusqu'à une valeur numérique : $4096 - 625 = 3471$ .
8

Calculer l'espérance $E (X) = n p = 4 \times \frac{3}{8} = \frac{3}{2} = 1, 5$ et l'interpréter
+0,5

💡 Appliquer $E (X) = n p$ , puis interpréter : en moyenne $1, 5$ boule rouge sur $4$ tirages.

Total de la question 4 points

🪙 Bloqué ? Voici comment grappiller des points

Même si tu bloques sur un calcul, tu peux récolter la majorité des points :

Cite les trois conditions de Bernoulli (deux issues, $p$ constante, répétitions indépendantes) : ces mots-clés valent déjà $1$ point.
Pose toujours la formule $p (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ avant de calculer.
« Au moins un » = complémentaire : $p (X \geq 1) = 1 - p (X = 0)$ , jamais une longue somme.
Connais $E (X) = n p$ par cœur : cette ligne se gagne en une seconde.

✍️ La même réponse, mal puis bien rédigée

Bâclée : « $X$ binomiale » sans justifier les conditions, calculs sans poser la formule, « au moins un » fait par somme longue (source d'erreurs).

Complète : épreuve de Bernoulli ( $p = \frac{3}{8}$ ) répétée $4$ fois avec remise donc $X \sim B (4; \frac{3}{8})$ ; $p (X = 2) = (2 4) (\frac{3}{8})^{2} (\frac{5}{8})^{2} \approx 0, 330$ ; $p (X \geq 1) = 1 - (\frac{5}{8})^{4} \approx 0, 847$ ; $E (X) = n p = 1, 5$ .