📈 Exponentielle Question sur 4,5 pts

Étude d'une fonction avec exponentielle (Sciences Exp)

Limites, dérivée, signe et tableau d'une fonction avec exponentielle (Bac SE).

📋 L'énoncé

On considère la fonction $f$ définie sur $R$ par : $f (x) = (x + 1) e^{- x}$ .

On note $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Calculer $x \to - \infty lim f (x)$ , puis $x \to + \infty lim f (x)$ . En déduire une asymptote à $(C)$ .
Montrer que pour tout $x \in R$ : $f^{'} (x) = - x e^{- x}$ .
Étudier le signe de $f^{'} (x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ .
En déduire la valeur maximale de $f$ sur $R$ .

🔍 Le barème, ligne par ligne où va chaque point

1

Limite en $- \infty$ : $x \to - \infty lim (x + 1) = - \infty$ et $x \to - \infty lim e^{- x} = + \infty$ , donc $x \to - \infty lim f (x) = - \infty$ .
+0,5

💡 Produit de deux limites infinies de même comportement, sans forme indéterminée.
2

Limite en $+ \infty$ : on écrit $f (x) = x e^{- x} + e^{- x}$ , avec $x \to + \infty lim x e^{- x} = 0$ (croissances comparées) et $x \to + \infty lim e^{- x} = 0$ , donc $x \to + \infty lim f (x) = 0$ .
+0,75

💡 La croissance comparée est le point clé attendu et le plus rapporteur.
3

Asymptote : la droite d'équation $y = 0$ (axe des abscisses) est asymptote horizontale à $(C)$ en $+ \infty$ .
+0,5

💡 Conséquence directe de la limite nulle en $+ \infty$ .
4

Dérivée : $f = u \cdot v$ avec $u = x + 1$ et $v = e^{- x}$ , donc $f^{'} (x) = 1 \cdot e^{- x} + (x + 1) \cdot (- e^{- x})$ .
+0,5

💡 Application correcte de la formule du produit et de $(e^{- x})^{'} = - e^{- x}$ .
5

Simplification : $f^{'} (x) = e^{- x} (1 - (x + 1)) = - x e^{- x}$ .
+0,5

💡 La factorisation par $e^{- x}$ donne la forme demandée.
6

Signe de $f^{'} (x)$ : comme $e^{- x} > 0$ , le signe de $f^{'} (x)$ est celui de $- x$ ; donc $f^{'} (x) > 0$ pour $x < 0$ et $f^{'} (x) < 0$ pour $x > 0$ .
+0,5

💡 Le facteur exponentiel strictement positif réduit l'étude au signe de $- x$ .
7

Tableau de variations : $f$ est croissante sur $] - \infty; 0]$ et décroissante sur $[0; + \infty [$ , avec les limites $- \infty$ et $0$ .
+0,75

💡 Synthèse complète attendue : sens de variation cohérent avec le signe et les limites.
8

Maximum : $f$ admet un maximum en $x = 0$ valant $f (0) = (0 + 1) e^{0} = 1$ .
+0,5

💡 Lecture du tableau et calcul exact de la valeur extrémale.

Total de la question 4,5 points

🪙 Bloqué ? Voici comment grappiller des points

Même sans terminer toute l'étude, plusieurs points sont faciles à récupérer :

Annonce chaque limite avec sa justification : la limite en $- \infty$ est un produit sans piège et vaut $- \infty$ .
Pour la limite en $+ \infty$ , cite explicitement $x \to + \infty lim x e^{- x} = 0$ : c'est la ligne la plus rapportée.
Donne la dérivée même non simplifiée : $f^{'} (x) = e^{- x} + (x + 1) (- e^{- x})$ vaut déjà des points.
Rappelle que $e^{- x} > 0$ pour tout $x$ : cette phrase justifie tout le signe de $f^{'}$ .

✍️ La même réponse, mal puis bien rédigée

Bâclée : dérivée non factorisée, signe de $f^{'}$ non justifié, maximum non calculé : la moitié des points part.

Complète : limites $- \infty$ et $0$ (asymptote $y = 0$ ) ; $f^{'} (x) = - x e^{- x}$ ; comme $e^{- x} > 0$ , signe de $- x$ ; $f$ croît puis décroît ; maximum $f (0) = 1$ . Le facteur $e^{- x} > 0$ explicitement écrit sécurise tout le signe.