📉 Suites Question sur 2 pts

Montrer qu'une suite récurrente converge

La chaîne bornée → monotone → convergente → limite : où le correcteur place chaque point.

📋 L'énoncé

On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout $n \in N$ , $u_{n + 1} = 2 + u_{n}$ .

1) Montrer que pour tout $n$ , $1 \leq u_{n} \leq 2$ .

2) Étudier le signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ et en déduire la monotonie de $(u_{n})$ .

3) En déduire que $(u_{n})$ converge, puis déterminer sa limite $ℓ$ .

🔍 Le barème, ligne par ligne où va chaque point

1

Initialisation : $u_{0} = 1$ donc $1 \leq u_{0} \leq 2$ , l'encadrement est vrai au rang $0$ .
+0,25

💡 Le correcteur exige une initialisation explicite : sans elle, la récurrence n'est pas valide et la note plafonne.
2

Hérédité : on suppose $1 \leq u_{n} \leq 2$ , alors $3 \leq 2 + u_{n} \leq 4$ donc $3 \leq u_{n + 1} \leq 2$ , et comme $1 \leq 3$ on a bien $1 \leq u_{n + 1} \leq 2$ .
+0,25

💡 C'est le cœur de la récurrence : appliquer la racine (fonction croissante) à l'hypothèse rapporte les points même si la conclusion est sommaire.
3

Conclusion de la récurrence : par récurrence, pour tout $n$ , $1 \leq u_{n} \leq 2$ . La suite est donc bornée.
+0,25

💡 La phrase de clôture « donc par récurrence » valide formellement la question 1 et installe le majorant utile à la question 3.
4

Signe de la différence : $u_{n + 1} - u_{n} = 2 + u_{n} - u_{n} = \frac{2 + u _{n} - u _{n}^{2}}{2 + u _{n} + u _{n}} = \frac{( 2 - u _{n} ) ( 1 + u _{n} )}{2 + u _{n} + u _{n}}$ .
+0,25

💡 L'expression conjuguée fait apparaître le facteur $2 - u_{n}$ : c'est la manipulation algébrique attendue, créditée même sans la conclusion.
5

Monotonie : comme $1 \leq u_{n} \leq 2$ , on a $2 - u_{n} \geq 0$ , $1 + u_{n} > 0$ et le dénominateur $> 0$ , donc $u_{n + 1} - u_{n} \geq 0$ : la suite est croissante.
+0,25

💡 Conclure le signe à partir de l'encadrement de la question 1 : c'est le point qui relie les deux questions et justifie « croissante ».
6

Convergence : la suite $(u_{n})$ est croissante et majorée par $2$ , donc d'après le théorème de la limite monotone elle converge vers une limite $ℓ$ .
+0,25

💡 Cette phrase-théorème, à elle seule, rapporte le point : c'est l'argument décisif que le correcteur cherche explicitement.
7

Équation de la limite : $f (x) = 2 + x$ est continue sur $[1, 2]$ et $u_{n + 1} = f (u_{n})$ , donc par passage à la limite $ℓ = 2 + ℓ$ , soit $ℓ^{2} = 2 + ℓ$ .
+0,25

💡 Le passage à la limite doit citer la continuité de $f$ : sans cette mention, l'équation $f (ℓ) = ℓ$ n'est pas justifiée.
8

Résolution et rejet : $ℓ^{2} - ℓ - 2 = 0$ donne $ℓ = 2$ ou $ℓ = - 1$ ; or $1 \leq u_{n} \leq 2$ donc $ℓ \geq 1$ , on rejette $- 1$ . Conclusion : $lim u_{n} = 2$ .
+0,25

💡 Résoudre l'équation puis éliminer la racine impossible grâce à l'encadrement : les deux gestes complètent la note maximale.

Total de la question 2 points

🪙 Bloqué ? Voici comment grappiller des points

La question 3 est la plus rentable : un seul argument bien formulé débloque presque tout.

La phrase « toute suite croissante et majorée converge » rapporte un point à elle seule : écris-la dès que tu as établi la monotonie et le majorant, même si tes questions 1 et 2 sont incomplètes.
Tu peux admettre la question 1 (« on admet que $1 \leq u_{n} \leq 2$ ») pour traiter la 2 et la 3 : le correcteur crédite l'exploitation correcte d'un résultat admis.
Au passage à la limite, écris explicitement « $f$ est continue donc $f (ℓ) = ℓ$ » : sans le mot « continue », l'équation $ℓ = 2 + ℓ$ est considérée comme non justifiée et tu perds le point.

✍️ La même réponse, mal puis bien rédigée

Élève A : « $ℓ = 2 + ℓ$ donc $ℓ = 2$ ». La bonne limite est trouvée, mais rien ne prouve que la suite converge ni que cette limite existe : le correcteur ne crédite que le calcul du point fixe, pas la convergence.

Élève B (note maximale) : montre d'abord $1 \leq u_{n} \leq 2$ (récurrence), puis $u_{n + 1} - u_{n} \geq 0$ (suite croissante), invoque le théorème « croissante + majorée $\Rightarrow$ converge », et seulement après calcule $ℓ = 2$ par continuité. Moralité : trouver la bonne limite sans justifier la convergence plafonne autour de la moitié des points ; ce sont les étapes bornée + monotone + théorème, placées AVANT le calcul, qui font la différence.