Limites usuelles & croissances comparées

Cette fiche regroupe toutes les limites usuelles du programme de Terminale ainsi que les croissances comparées. Étudier une limite, c'est décrire le comportement d'une fonction $f$ quand $x$ tend vers une valeur ou vers l'infini : on cherche $\lim_{x \to a} f(x)$.

Le point délicat est celui des formes indéterminées ($\frac{\infty}{\infty}$, $0 \times \infty$, $\infty - \infty$, $\frac{0}{0}$) : les théorèmes d'opérations ne suffisent pas, il faut transformer l'écriture (factoriser, utiliser le terme de plus haut degré, ou invoquer une croissance comparée). Retenir que l'exponentielle « l'emporte » sur toute puissance et que toute puissance « l'emporte » sur le logarithme résout l'essentiel des indéterminations.

Limites usuelles en $+\infty$

$x \to + \infty lim \frac{1}{x}$	= $0$	et $\frac{1}{x ^{n}} \to 0$
$x \to + \infty lim \frac{1}{x ^{2}}$	= $0$
$x \to + \infty lim x$	= $+ \infty$
$x \to + \infty lim x^{n}$	= $+ \infty$	$n \geq 1$ entier
$x \to + \infty lim e^{x}$	= $+ \infty$
$x \to + \infty lim ln x$	= $+ \infty$

Limites usuelles en $-\infty$

$x \to - \infty lim \frac{1}{x}$	= $0$	limite $0^{-}$
$x \to - \infty lim \frac{1}{x ^{2}}$	= $0$	limite $0^{+}$
$x \to - \infty lim x^{n}$	= $+ \infty ou - \infty$	$+ \infty$ si $n$ pair, $- \infty$ si $n$ impair
$x \to - \infty lim e^{x}$	= $0$	limite $0^{+}$

Limites usuelles en $0$

$x \to 0^{+} lim \frac{1}{x}$	= $+ \infty$
$x \to 0^{-} lim \frac{1}{x}$	= $- \infty$
$x \to 0 lim \frac{1}{x ^{2}}$	= $+ \infty$	toujours $+ \infty$ ( $x^{2} > 0$ )
$x \to 0^{+} lim x$	= $0$	$x$ définie sur $[0; + \infty [$
$x \to 0^{+} lim ln x$	= $- \infty$	asymptote verticale en $x = 0$

Opérations sur les limites

$lim (f + g)$	= $lim f + lim g$	sauf forme $\infty - \infty$
$lim (f \times g)$	= $lim f \times lim g$	sauf forme $0 \times \infty$
$lim \frac{f}{g}$	= $\frac{lim f}{lim g}$	sauf formes $\frac{0}{0}$ et $\frac{\infty}{\infty}$
$\frac{ℓ}{0 ^{+}} avec ℓ > 0$	= $+ \infty$	règle des signes selon $0^{+}$ ou $0^{-}$

Formes indéterminées (FI)

$+ \infty - \infty$	= $F.I.$	factoriser par le terme dominant
$0 \times \infty$	= $F.I.$	réécrire en quotient
$\frac{\infty}{\infty}$	= $F.I.$	terme de plus haut degré ou croissance comparée
$\frac{0}{0}$	= $F.I.$	factoriser, taux d'accroissement

Croissances comparées

$x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x ^{n}}$	= $+ \infty$	l'exponentielle l'emporte sur toute puissance
$x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x}$	= $+ \infty$	cas $n = 1$ à connaître
$x \to - \infty lim x^{n} e^{x}$	= $0$	réécriture de $x e^{x} \to 0$ en $- \infty$
$x \to + \infty lim x^{n} e^{- x}$	= $0$	l'exponentielle écrase la puissance
$x \to + \infty lim \frac{ln x}{x}$	= $0$	la puissance l'emporte sur le logarithme
$x \to + \infty lim \frac{ln x}{x ^{n}}$	= $0$	$n \geq 1$
$x \to 0^{+} lim x ln x$	= $0$	F.I. $0 \times \infty$ levée

Limites de référence

$x \to 0 lim \frac{sin x}{x}$	= $1$	nombre dérivé de $sin$ en $0$
$x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x}$	= $1$	nombre dérivé de $e^{x}$ en $0$
$x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x )}{x}$	= $1$	nombre dérivé de $ln (1 + x)$ en $0$

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