Exponentielle & logarithme : formules

Cette fiche regroupe toutes les propriétés algébriques, les dérivées et les limites des fonctions exponentielle $\exp : x \mapsto e^x$ et logarithme népérien $\ln$. Ce sont deux fonctions réciproques l'une de l'autre : pour tout $x > 0$, $e^{\ln x} = x$, et pour tout réel $x$, $\ln(e^x) = x$.

L'exponentielle transforme les sommes en produits ($e^{a+b} = e^a \times e^b$), tandis que le logarithme transforme les produits en sommes ($\ln(ab) = \ln a + \ln b$). Maîtriser ces règles est indispensable pour résoudre les équations du type $a^x = b$ et étudier les croissances comparées.

Propriétés de l'exponentielle

$e^{0}$	= $= 1$
$e^{1}$	= $= e \approx 2, 718$	nombre d'Euler
$e^{a + b}$	= $= e^{a} \times e^{b}$	transforme la somme en produit
$e^{- a}$	= $= \frac{1}{e ^{a}}$	inverse
$e^{a - b}$	= $= \frac{e ^{a}}{e ^{b}}$
$(e^{a})^{n}$	= $= e^{na}$	$n$ entier relatif
$e^{a} > 0$	pour tout réel $a$

Dérivées de l'exponentielle

$(e^{x})^{'}$	= $= e^{x}$	sa propre dérivée
$(e^{u})^{'}$	= $= u^{'} e^{u}$	fonction composée

Propriétés du logarithme népérien

$ln 1$	= $= 0$
$ln e$	= $= 1$
$ln (ab)$	= $= ln a + ln b$	$a > 0$ et $b > 0$
$ln (\frac{a}{b})$	= $= ln a - ln b$	$a > 0$ et $b > 0$
$ln (\frac{1}{a})$	= $= - ln a$	$a > 0$
$ln (a^{n})$	= $= n ln a$	$a > 0$ , $n$ entier relatif
$ln a$	= $= \frac{1}{2} ln a$	$a > 0$

Dérivées du logarithme

$(ln x)^{'}$	= $= \frac{1}{x}$	sur $] 0; + \infty [$
$(ln u)^{'}$	= $= \frac{u ^{'}}{u}$	avec $u > 0$

Relations exp / ln

$e^{l n x}$	= $= x$	pour $x > 0$
$ln (e^{x})$	= $= x$	pour tout réel $x$
$e^{a} = b$	= $⟺ a = ln b$	avec $b > 0$
$ln a = ln b$	= $⟺ a = b$	$a > 0$ , $b > 0$

Limites associées

$x \to + \infty lim e^{x}$	= $= + \infty$
$x \to - \infty lim e^{x}$	= $= 0^{+}$	asymptote horizontale $y = 0$
$x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x}$	= $= + \infty$	croissance comparée
$x \to - \infty lim x e^{x}$	= $= 0$	croissance comparée
$x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x}$	= $= 1$	nombre dérivé de $exp$ en $0$
$x \to + \infty lim ln x$	= $= + \infty$
$x \to 0^{+} lim ln x$	= $= - \infty$	asymptote verticale $x = 0$
$x \to + \infty lim \frac{ln x}{x}$	= $= 0$	croissance comparée
$x \to 0^{+} lim x ln x$	= $= 0$	croissance comparée
$x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x )}{x}$	= $= 1$	nombre dérivé de $ln$ en $1$

Équations a^x = b

$a^{x}$	= $= e^{x l n a}$	$a > 0$
$a^{x} = b$	= $⟺ x = \frac{ln b}{ln a}$	$a > 0$ , $a \neq = 1$ , $b > 0$
$e^{x} = b$	= $⟺ x = ln b$	$b > 0$
$(a^{x})^{'}$	= $= a^{x} ln a$	dérivée de $x \mapsto a^{x}$

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