Calcul intégral : formules

Cette fiche regroupe toutes les formules du calcul intégral au programme de Terminale. Si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a;b]$, alors $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ : l'intégrale ne dépend pas de la primitive choisie, car la constante s'élimine dans la différence.

Pour une fonction positive, l'intégrale $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ représente l'aire du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites $x=a$ et $x=b$, exprimée en unités d'aire. Les propriétés de linéarité et la relation de Chasles permettent de découper et combiner les calculs, tandis que l'intégration par parties traite les produits de fonctions.

Définition

$a \int b f (x) d x = F (b) - F (a)$	= $F^{'} = f$	$F$ primitive de $f$ sur $[a; b]$
$a \int b f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b}$	= $= F (b) - F (a)$	notation crochet
$a \int a f (x) d x = 0$	= $0$	bornes égales
$b \int a f (x) d x = - a \int b f (x) d x$	échange des bornes

Propriétés

$a \int b (f + g) = a \int b f + a \int b g$	linéarité (somme)
$a \int b k f = k a \int b f$	= $k \in R$	linéarité (constante)
$a \int c f = a \int b f + b \int c f$	relation de Chasles
$f \geq 0 sur [a; b] ⟹ a \int b f \geq 0$	= $a \leq b$	positivité
$f \leq g sur [a; b] ⟹ a \int b f \leq a \int b g$	= $a \leq b$	ordre (croissance)

Valeur moyenne

$μ = \frac{1}{b - a} a \int b f (x) d x$	valeur moyenne de $f$ sur $[a; b]$
$a \int b f (x) d x = (b - a) μ$	aire = base $\times$ hauteur moyenne

Intégration par parties

$a \int b u v^{'} = [u v]_{a}^{b} - a \int b u^{'} v$	$u, v$ dérivables, $u^{'}, v^{'}$ continues
$\int u v^{'} = u v - \int u^{'} v$	version sans bornes (primitive)

Aire entre deux courbes

$A = a \int b f (x) d x$	= $f \geq 0$	aire sous la courbe (u.a.)
$A = - a \int b f (x) d x$	= $f \leq 0$	courbe sous l'axe
$A = a \int b (f (x) - g (x)) d x$	= $f \geq g$	aire entre $C_{f}$ et $C_{g}$
$A = a \int b f (x) - g (x) d x$	cas général

Intégrales usuelles

$a \int b x^{n} d x = [\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}]_{a}^{b}$	= $n \neq = - 1$
$a \int b \frac{1}{x} d x = [ln ∣ x ∣]_{a}^{b}$	= $0 \in / [a; b]$
$a \int b e^{x} d x = [e^{x}]_{a}^{b} = e^{b} - e^{a}$
$a \int b cos x d x = [sin x]_{a}^{b}$
$a \int b sin x d x = [- cos x]_{a}^{b}$

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