Énoncé Soit ( u n ) la suite définie par u n = k = 1 ∑ n k ( k + 2 ) 1 . Déterminer n → + ∞ lim u n . Soit ( v n ) la suite définie par v n = k = 1 ∑ n arctan ( k 2 + k + 1 1 ) . Montrer que pour tout x ≥ 0 : arctan ( x + 1 ) − arctan ( x ) = arctan ( x 2 + x + 1 1 ) . Déterminer n → + ∞ lim v n .

Sommes télescopiques et somme d'arctangentes

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

Soit $(u_{n})$ la suite définie par $u_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k ( k + 2 )}$ . Déterminer $n \to + \infty lim u_{n}$ .
Soit $(v_{n})$ la suite définie par $v_{n} = k = 1 \sum n arctan (\frac{1}{k ^{2} + k + 1})$ .
1. Montrer que pour tout $x \geq 0$ : $arctan (x + 1) - arctan (x) = arctan (\frac{1}{x ^{2} + x + 1})$ .
2. Déterminer $n \to + \infty lim v_{n}$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour u_n, cherche a decomposer $\\dfrac{1}{k(k+2)}$ en une difference de deux fractions simples (decomposition en elements simples) afin de faire apparaitre une somme telescopique.

2 Indice 2

Une fois la somme decomposee, ecris les termes en decalant les indices pour reperer quels termes s'annulent deux a deux, et ne garde que les premiers et derniers termes restants avant de passer a la limite.

3 Indice 3

Pour v_n, commence par demontrer l'identite demandee en 2.a) en utilisant la formule de tangente d'une difference $\\tan(a-b)$, puis utilise cette identite pour transformer chaque terme de la somme v_n en une difference telescopique du type $\\arctan(k+1) - \\arctan(k)$.

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