Soit ( u n ) la suite définie par u 0 = 1 et, pour tout n ∈ N , u n + 1 = 1 − u n + 5 9 . Montrer que pour tout n ∈ N : u n > − 2 . Pour tout n ∈ N , on pose v n = u n + 2 1 . Montrer que ( v n ) est arithmétique. Exprimer u n en fonction de n , puis déterminer n → + ∞ lim u n .

Suite homographique ramenée à une suite arithmétique

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Soit $(u_{n})$ la suite définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout $n \in N$ , $u_{n + 1} = 1 - \frac{9}{u _{n} + 5}$ .

Montrer que pour tout $n \in N$ : $u_{n} > - 2$ .
Pour tout $n \in N$ , on pose $v_{n} = \frac{1}{u _{n} + 2}$ . Montrer que $(v_{n})$ est arithmétique.
Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ , puis déterminer $n \to + \infty lim u_{n}$ .

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour la minoration, un raisonnement par recurrence est adapte : etudie le signe de $u_{n+1}+2$.

2 Indice 2

Calcule $u_{n+1}+2$ et fais apparaitre le facteur $u_n+2$ pour conclure sur le signe.

3 Indice 3

Pour $v_n$, exprime $v_{n+1}=\\dfrac{1}{u_{n+1}+2}$ a l'aide de $u_n+2$ et montre que la difference $v_{n+1}-v_n$ est constante.

Bloqué sur cet exercice ?

Léo peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points