Loi de Poisson et modélisation d'arrivées aléatoires

Un guichet de la poste à Fès reçoit en moyenne 3 clients par tranche de 10 minutes. On modélise le nombre de clients arrivant en 10 minutes par une variable aléatoire $X$ suivant une loi de Poisson de paramètre $\lambda =3$.

1. Rappeler la formule de $P(X=k)$ pour la loi de Poisson $P(\lambda )$. Calculer $P(X=0)$, $P(X=1)$, $P(X=2)$ et $P(X=3)$. (Donner les résultats arrondis à $10^{-3}$. On admettra que $e^{-3}\approx 0,0498$.)
2. Calculer $P(X\ge 4)$. En déduire l'interprétation pratique de ce résultat.
3. On considère une heure d'ouverture du guichet, soit $6$ tranches de $10$ minutes indépendantes. Soit $Y$ le nombre de tranches de $10$ minutes pendant lesquelles aucun client n'arrive.
   (a) Montrer que $Y$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
   (b) Calculer $E(Y)$ et $V(Y)$.
   (c) Calculer $P(Y\ge 1)$. (Arrondir à $10^{-3}$.)
4. Soit $G$ la variable aléatoire définie par $G=2X-3$. Calculer $E(G)$ et $V(G)$.