On considère la fonction f définie sur ] 0 ; + ∞ [ par : f ( x ) = x − 2 + ln ( x ) . 1. Déterminer les limites de f en 0 + et en + ∞ . 2. Calculer f ′ ( x ) et étudier le signe de f ′ ( x ) sur ] 0 ; + ∞ [ . En déduire le tableau de variations de f . 3. Montrer que l'équation f ( x ) = 0 admet une unique solution α sur ] 0 ; + ∞ [ , puis justifier que 1 < α < 2 .

Étude complète d'une fonction avec logarithme

Intermédiaire Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

On considère la fonction $f$ définie sur $] 0; + \infty [$ par :

$f (x) = x - 2 + ln (x)$ .

1. Déterminer les limites de $f$ en $0^{+}$ et en $+ \infty$ .

2. Calculer $f^{'} (x)$ et étudier le signe de $f^{'} (x)$ sur $] 0; + \infty [$ . En déduire le tableau de variations de $f$ .

3. Montrer que l'équation $f (x) = 0$ admet une unique solution $α$ sur $] 0; + \infty [$ , puis justifier que $1 < α < 2$ .

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