Énoncé Montrer que pour tout x ∈ [ 0 ; + ∞ [ : − 2 x 2 ≤ ln ( 1 + x ) − x ≤ − 2 x 2 + 3 x 3 . En déduire x → 0 + lim x 2 ln ( 1 + x ) − x .

Encadrement de ln(1+x) et limite associée

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Montrer que pour tout $x \in [0; + \infty [$ :
$- \frac{x ^{2}}{2} \leq ln (1 + x) - x \leq - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{3} .$
En déduire $x \to 0^{+} lim \frac{ln ( 1 + x ) - x}{x ^{2}}$ .

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1 Indice 1

Introduis une fonction auxiliaire egale a la difference des deux membres et etudie ses variations.

2 Indice 2

Pour l'inegalite de droite, pose $g(x)=\\ln(1+x)-x+\\dfrac{x^2}{2}-\\dfrac{x^3}{3}$ et calcule $g'$.

3 Indice 3

Pour la limite, divise l'encadrement par $x^2>0$ et applique le theoreme d'encadrement.

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