Étude complète : limite, réciproque, dichotomie

Énoncé

Soit $f$ définie par $f(x)=2-\sqrt[3]{x^2-1}$.

1. Déterminer $D_f$ puis calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$.
2. Soit $g$ la restriction de $f$ sur $I=[1;+\infty [$. Étudier le sens de variation de $g$, montrer que $g$ admet une réciproque $g^{-1}$ sur un intervalle $J$ à déterminer, puis donner $g^{-1}(x)$.
3. Montrer que l'équation $g(x)=x$ admet une unique solution $\alpha$ avec $1<\alpha <2$.