Énoncé Soit n ∈ N ∗ un entier fixé. On considère la fonction f n : [ 0 ; 1 ] → R définie par : f n ( x ) = x n − ( 1 − x ) 2 . Montrer que f n est strictement croissante sur [ 0 ; 1 ] . Montrer qu'il existe un unique α n ∈ ] 0 ; 1 [ tel que f n ( α n ) = 0 .

Existence et unicité d'une racine (TVI + monotonie)

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Soit $n \in N^{*}$ un entier fixé. On considère la fonction $f_{n} : [0; 1] \to R$ définie par :

$f_{n} (x) = x^{n} - (1 - x)^{2} .$

Montrer que $f_{n}$ est strictement croissante sur $[0; 1]$ .
Montrer qu'il existe un unique $α_{n} \in] 0; 1 [$ tel que $f_{n} (α_{n}) = 0$ .

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1 Indice 1

Pour la monotonie, etudie le signe de la derivee $f_n'(x)$ sur $[0;1]$.

2 Indice 2

Ecris $f_n'(x)=n\\,x^{n-1}+2(1-x)$ et verifie que chaque terme est positif sur l'intervalle.

3 Indice 3

Pour l'unicite, combine continuite et stricte croissance avec le TVI en calculant $f_n(0)$ et $f_n(1)$.

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