Application du théorème des valeurs intermédiaires — Bac Sénégal 2023

Exercice 4

On considère la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=x^3-3x+1$

1. Montrer que f est continue sur $\mathbb{R}$.
2. Calculer $f(-2)$, $f(-1)$, $f(0)$, $f(1)$ et $f(2)$.
3. En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires, montrer que l'équation $f(x)=0$ admet au moins trois solutions réelles distinctes, en précisant un intervalle contenant chacune d'elles.
4. Montrer que sur l'intervalle $[0;1]$, l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$. Donner un encadrement de $\alpha$ à $10^{-1}$ près.