Exercice 3 On considère la fonction f définie par : f ( x ) = x − 1 x 2 + x ⋅ l n ( x ) pour x > 0 et x  = 1 . Calculer x → + ∞ lim x f ( x ) . En déduire la présence éventuelle d'une asymptote oblique en + ∞ , et déterminer-la entièrement. Calculer x → 0 + lim f ( x ) . (On rappelle que x → 0 + lim x ⋅ ln ( x ) = 0 .) Étudier la continuité de f en x = 1 : calculer x → 1 lim f ( x ) et comparer à f ( 1 ) (non définie). Peut-on prolonger f par continuité en 1 ? Si oui, donner la valeur du prolongement. Calculer x → 1 lim x − 1 f ( x ) − ( x + 2 ) . Interpréter géométriquement ce résultat.

Formes indéterminées, asymptotes obliques et étude locale

Intermédiaire Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Exercice 3

On considère la fonction f définie par :

$f (x) = \frac{x ^{2} + x \cdot l n ( x )}{x - 1}$ pour $x > 0$ et $x \neq = 1$ .

Calculer $x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x}$ . En déduire la présence éventuelle d'une asymptote oblique en $+ \infty$ , et déterminer-la entièrement.
Calculer $x \to 0^{+} lim f (x)$ . (On rappelle que $x \to 0^{+} lim x \cdot ln (x) = 0$ .)
Étudier la continuité de f en $x = 1$ : calculer $x \to 1 lim f (x)$ et comparer à $f (1)$ (non définie). Peut-on prolonger f par continuité en 1 ? Si oui, donner la valeur du prolongement.
Calculer $x \to 1 lim \frac{f ( x ) - ( x + 2 )}{x - 1}$ . Interpréter géométriquement ce résultat.

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