Aire entre deux courbes et double intégration par parties

On considère les fonctions f et g définies sur $\mathbb{R}$ par $$f(x)=x^2\text{et}g(x)=x^3.$$

1. Étudier le signe de $f(x)-g(x)$ sur l'intervalle $[0;1]$, puis déterminer laquelle des deux courbes est au-dessus de l'autre sur cet intervalle.

2. Calculer, en unités d'aire, l'aire $\mathcal{A}$ du domaine compris entre les deux courbes sur $[0;1]$.

3. On pose $K=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^2{e}^{x}dx$. À l'aide de deux intégrations par parties successives, calculer $K$.

4. En déduire la valeur moyenne de la fonction $h:x\mapsto x^2{e}^x$ sur l'intervalle $[0;1]$.