Exercice 3 — Intégration par parties On rappelle la formule d'intégration par parties (IPP) : si u et v sont deux fonctions dérivables sur [ a ; b ] , alors : a ∫ b u ( x ) ⋅ v ′ ( x ) d x = [ u ( x ) ⋅ v ( x ) ] a b − a ∫ b u ′ ( x ) ⋅ v ( x ) d x Calculer I = 0 ∫ 1 x ⋅ e x d x en utilisant une intégration par parties. On précisera le choix de u et v ′ . Calculer J = 1 ∫ e x ⋅ ln ( x ) d x en utilisant une intégration par parties. On précisera le choix de u et v ′ . En déduire la valeur de K = 1 ∫ e ( x ⋅ ln ( x ) + x ⋅ e x ) d x .

Intégration par parties — niveau intermédiaire

Intermédiaire Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Exercice 3 — Intégration par parties

On rappelle la formule d'intégration par parties (IPP) : si u et v sont deux fonctions dérivables sur $[a; b]$ , alors :

$a \int b u (x) \cdot v^{'} (x) d x = [u (x) \cdot v (x)]_{a}^{b} - a \int b u^{'} (x) \cdot v (x) d x$

Calculer $I = 0 \int 1 x \cdot e^{x} d x$ en utilisant une intégration par parties. On précisera le choix de $u$ et $v^{'}$ .
Calculer $J = 1 \int e x \cdot ln (x) d x$ en utilisant une intégration par parties. On précisera le choix de $u$ et $v^{'}$ .
En déduire la valeur de $K = 1 \int e (x \cdot ln (x) + x \cdot e^{x}) d x$ .

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