Énoncé Soit F définie sur I = ] 0 ; + ∞ [ par F ( x ) = l n 2 ∫ x e t − 1 d t . Montrer que F est dérivable sur I et calculer F ′ ( x ) , puis en déduire que F est strictement croissante. À l'aide du changement de variable u = e t − 1 , montrer que pour tout x ∈ I : F ( x ) = 2 arctan ( e x − 1 ) − 2 π . Calculer x → + ∞ lim F ( x ) et x → 0 + lim F ( x ) .

Intégrale et changement de variable conduisant à arctan

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Soit $F$ définie sur $I =] 0; + \infty [$ par $F (x) = l n 2 \int x \frac{d t}{e ^{t} - 1}$ .

Montrer que $F$ est dérivable sur $I$ et calculer $F^{'} (x)$ , puis en déduire que $F$ est strictement croissante.
À l'aide du changement de variable $u = e^{t} - 1$ , montrer que pour tout $x \in I$ : $F (x) = 2 arctan (e^{x} - 1) - \frac{π}{2}$ .
Calculer $x \to + \infty lim F (x)$ et $x \to 0^{+} lim F (x)$ .

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1 Indice 1

Comme integrale d'une fonction continue, $F$ est derivable et $F'$ est l'integrande evaluee en $x$.

2 Indice 2

Pose $u=\\sqrt{e^t-1}$, exprime $e^t$ et $dt$ en fonction de $u$, puis change les bornes.

3 Indice 3

Tu dois tomber sur $2\\displaystyle\\int\\dfrac{du}{u^2+1}$ dont une primitive est $\\arctan u$.

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