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Marrakech : population après 10 ans et seuil de 200 000

Difficile Inspiré BAC France
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Exercice inspiré d'un BAC France
Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

Une ville , Marrakech, a une population initiale de 100 000 habitants. On sait que la population augmente selon un modèle exponentiel avec un taux de croissance de 5% par an. Calculer la population de la ville après 10 ans. Ensuite, déterminer le temps nécessaire pour que la population atteigne 200 000 habitants.

Indices

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1 Indice 1
Utilise le modèle exponentiel $P(t) = P_0 \times e^{r t}$ avec les valeurs de $P_0$ et $r$ données dans l'énoncé, pour calculer $P(10)$.
2 Indice 2
Pour trouver le temps nécessaire pour atteindre $200\,000$ habitants, pose l'équation $200\,000 = 100\,000 \times e^{0.05t}$ et simplifie en divisant les deux membres par $100\,000$.
3 Indice 3
Pour résoudre une équation du type $e^{kt} = a$, applique le logarithme népérien des deux côtés et isole $t$.

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