Fonction rationnelle exponentielle et asymptotes

Limites et asymptotes

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=2x+\frac{e^x}{e^x-1}$.

1. Vérifier que $D_f={\mathbb{R}}^{\ast }$.
2. Calculer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)$, puis interpréter graphiquement.
3. Montrer que la droite $(D):y=2x+1$ est asymptote oblique à $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$, et étudier la position relative de $(C_f)$ et $(D)$ sur $]0;+\infty [$.