Intégrale par parties et suite liée à e^x (Bac)

On pose $I_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^n\cdot e^{x}dx$ pour $n\in \mathbb{N}$.

1. Calculer $I_0$.
2. Montrer que $I_n=e-n\cdot I_{n-1}$ pour $n\ge 1$ (relation de récurrence).
3. Calculer $I_1$, $I_2$, $I_3$.
4. Montrer que $0<I_n<\frac{e}{n+1}$ pour tout $n\ge 0$.
5. En déduire que $\underset{n\to +\infty }{\lim }n!\cdot I_n=e-\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}=0$ (interprétation via l'exponentielle).