Application du théorème des accroissements finis — Bac Cameroun 2023

Exercice 3 — Théorème des accroissements finis et inégalités

On considère la fonction $h$ définie sur $[0,+\infty [$ par : $h(x)=\sqrt{1+x}$.

1. Vérifier que $h$ est continue sur $[0,+\infty [$ et dérivable sur $]0,+\infty [$. Calculer $h^{\prime }(x)$.
2. Appliquer le théorème des accroissements finis (TAF) à $h$ sur l'intervalle $[0,x]$ pour $x>0$. En déduire qu'il existe $c\in ]0,x[$ tel que $\sqrt{1+x}-1=\frac{x}{2\sqrt{1+c}}$.
3. En utilisant le fait que $0<c<x$, montrer les inégalités suivantes pour tout $x>0$ :
   $1+\frac{x}{2\sqrt{1+x}}<\sqrt{1+x}<1+\frac{x}{2}$.
4. Déduire un encadrement de $\sqrt{1,04}$ à $10^{-3}$ près. (On prendra $x=0,04$.)