Étude de $3\sqrt[3]{x+1}-x$, fonction réciproque et dérivée

Soit $f$ la fonction définie sur $I=[0;+\infty [$ par $f(x)=3\sqrt[3]{x+1}-x$.

1. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ puis étudier le sens de variation de $f$.
2. Montrer que l'équation $f(x)=x$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\left]2;3\right[$.
3. a) Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ à déterminer. b) Montrer que $f^{-1}$ est dérivable en $\alpha$ et que $(f^{-1}{)}^{\prime }(\alpha )=\frac{4{\alpha }^2}{9-4{\alpha }^2}$.
4. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\beta$ dans $\left]5;6\right[$.