Mots binaires, parties et identités du triangle de Pascal

On appelle mot binaire de longueur $n$ toute suite ordonnée de $n$ symboles, chacun valant $0$ ou $1$ (par exemple $0110$ est un mot binaire de longueur $4$). On travaille ici avec $n=8$.

1. Combien existe-t-il de mots binaires de longueur $8$ ? Combien d'entre eux contiennent exactement $k$ symboles égaux à $1$ (pour un entier $k$ fixé, $0\le k\le 8$) ?

2. En classant les mots binaires de longueur $8$ selon leur nombre de $1$, démontrer que $$\sum _{k=0}^8\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{k}\right)=2^8.$$ Généraliser la relation à un entier $n$ quelconque et indiquer le lien avec le nombre de parties d'un ensemble à $n$ éléments.

3. Démontrer que pour tout entier $n\ge 1$, $$\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=0.$$ (On pourra utiliser la formule du binôme de Newton.)

4. En déduire que dans un ensemble à $n\ge 1$ éléments, il y a autant de parties de cardinal pair que de parties de cardinal impair, et donner leur nombre commun.