Nature d'un quadrilatère

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A (- 2; 1)$ , $B (2; 3)$ , $C (4; - 1)$ et $D (0; - 3)$ .

1. Montrer que les diagonales $[A C]$ et $[B D]$ ont le même milieu. Que peut-on en déduire pour le quadrilatère $A B C D$ ?

2. Calculer les longueurs $A B$ et $B C$ .

3. En déduire la nature précise du quadrilatère $A B C D$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 1, calcule les coordonnees des milieux de $[AC]$ et de $[BD]$ separement avec la formule du milieu, puis compare les resultats pour conclure sur la nature du quadrilatere.

2 Indice 2

Pour la question 2, utilise la formule de la distance entre deux points pour calculer $AB$ et $BC$, puis compare les deux valeurs obtenues.

3 Indice 3

Pour la question 3, combine les deux resultats precedents : un parallelogramme avec deux cotes consecutifs egaux a un nom particulier ; verifie ensuite les diagonales pour affiner la conclusion.

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