On considère les droites : ( D ) : { x = 2 + 5 t y = 1 + t ( t ∈ R ) ( D ′ ) : x + 2 y + 3 = 0 On pose B ( 2 ; 1 ) et A ( 5 ; 0 ) . Montrer que B ∈ ( D ) et que A ∈ / ( D ′ ) . Montrer que les droites ( D ) et ( D ′ ) sont sécantes en un point I . Déterminer les coordonnées du point I .

Intersection d'une droite paramétrée et d'une droite cartésienne

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

On considère les droites :

$(D) : {x = 2 + 5 t y = 1 + t (t \in R) (D^{'}) : x + 2 y + 3 = 0$

On pose $B (2; 1)$ et $A (5; 0)$ .

Montrer que $B \in (D)$ et que $A \in / (D^{'})$ .
Montrer que les droites $(D)$ et $(D^{'})$ sont sécantes en un point $I$ .
Déterminer les coordonnées du point $I$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 1, remplace les coordonnees de $B$ dans le systeme parametre de $(D)$ pour trouver une valeur de $t$ coherente, et remplace les coordonnees de $A$ dans l'equation de $(D')$ pour verifier si elle est satisfaite.

2 Indice 2

Pour la question 2, determine un vecteur directeur de chaque droite, puis calcule leur determinant : s'il est non nul, les droites ne sont pas paralleles.

3 Indice 3

Pour la question 3, substitue les expressions de $x$ et $y$ de la representation parametree de $(D)$ dans l'equation cartesienne de $(D')$ pour trouver la valeur de $t$ au point d'intersection, puis calcule les coordonnees correspondantes.

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Intersection d'une droite paramétrée et d'une droite cartésienne

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