Soit f ( x ) = x − 1 2 x + 1 . Déterminer D f . Montrer que f est injective sur D f en utilisant f ( x 1 ) = f ( x 2 ) ⇒ x 1 = x 2 . Déterminer la fonction réciproque f − 1 ( x ) . Calculer ( f ∘ f − 1 ) ( x ) pour vérifier. Calculer f ( f ( x )) et simplifier.

Fonction inverse et bijection

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

Soit $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ .

Déterminer $D_{f}$ .
Montrer que $f$ est injective sur $D_{f}$ en utilisant $f (x_{1}) = f (x_{2}) \Rightarrow x_{1} = x_{2}$ .
Déterminer la fonction réciproque $f^{- 1} (x)$ .
Calculer $(f \circ f^{- 1}) (x)$ pour vérifier.
Calculer $f (f (x))$ et simplifier.

Indices

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1 Indice 1

Pour le domaine de definition, identifie la valeur de $x$ qui annule le denominateur et qui doit donc etre exclue.

2 Indice 2

Pour l'injectivite, pars de l'egalite $f(x_1) = f(x_2)$, mets les deux fractions au meme type en effectuant un produit en croix, puis developpe et simplifie pour isoler $x_1$ et $x_2$.

3 Indice 3

Pour trouver la reciproque, pose $y = f(x)$, puis resous cette equation pour exprimer $x$ en fonction de $y$ ; cela te donnera l'expression de $f^{-1}$. Pour les questions 4 et 5, remplace simplement $x$ par l'expression appropriee dans $f$ et simplifie soigneusement la fraction obtenue.

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