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Fonction composée et limites

Difficile Inspiré BAC France
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Exercice inspiré d'un BAC France
Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

Soit la fonction h définie par pour .

1. Calculez la limite de lorsque tend vers et .

2. Déterminez le domaine de définition de la fonction h.

3. Étudiez la monotonie de h sur son domaine de définition.

4. Interprétez le résultat : si h représente une distance en dirhams d'un point à un autre à Casablanca, quelle est la portée de cette fonction ?

Indices

— clique pour révéler
1 Indice 1
Pour la limite en $+\\infty$ et en $-\\infty$, remarque que $x^2$ domine le comportement sous la racine quel que soit le signe de $x$, donc $\\sqrt{x^2+1}$ tend vers $+\\infty$ dans les deux cas.
2 Indice 2
Pour le domaine de definition, verifie que l'expression sous la racine, $x^2+1$, est toujours strictement positive quelle que soit la valeur de $x$.
3 Indice 3
Pour etudier la monotonie, calcule la derivee de $h$ en utilisant la formule de derivation d'une racine carree, puis etudie le signe de cette derivee selon le signe de $x$.

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Léo peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

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