Soit f la fonction définie sur R par f ( x ) = − x 2 + 2 x . Dresser le tableau de variation de f et déterminer les points d'intersection de ( C f ) avec les axes. On pose g ( x ) = − x 2 + 2∣ x ∣ . Étudier la parité de g et exprimer g à l'aide de f sur [ 0 ; + ∞ [ .

Trinôme avec valeur absolue et parité

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

Soit $f$ la fonction définie sur $R$ par $f (x) = - x^{2} + 2 x$ .

Dresser le tableau de variation de $f$ et déterminer les points d'intersection de $(C_{f})$ avec les axes.
On pose $g (x) = - x^{2} + 2∣ x ∣$ . Étudier la parité de $g$ et exprimer $g$ à l'aide de $f$ sur $[0; + \infty [$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 1, mets $f(x)$ sous forme canonique en factorisant par $-1$ et en completant le carre, cela te donnera directement le sens de variation et le sommet de la parabole. Pour les intersections avec les axes, calcule $f(0)$ et resous $f(x) = 0$.

2 Indice 2

Pour la parite de $g$, calcule $g(-x)$ en te souvenant que $|-x| = |x|$, puis compare le resultat a $g(x)$ et a $-g(x)$.

3 Indice 3

Pour exprimer $g$ a l'aide de $f$ sur $[0 ; +\\infty[$, remplace $|x|$ par $x$ (car $x$ est positif sur cet intervalle) dans l'expression de $g(x)$, et compare avec l'expression de $f(x)$.

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