Montrer que pour tous réels a, b : a 2 + b 2 ≥ 2 ab . En déduire que pour a, b > 0 : 2 a + b ≥ ab (moyenne arithmétique ≥ moyenne géométrique). Application : montrer que pour x > 0, on a x + x 1 ≥ 2 . Montrer que pour tous réels a, b, c : a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + b c + c a .

Inégalités classiques : AM-GM

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

Montrer que pour tous réels a, b : $a^{2} + b^{2} \geq 2 ab$ .
En déduire que pour a, b > 0 : $\frac{a + b}{2} \geq ab$ (moyenne arithmétique $\geq$ moyenne géométrique).
Application : montrer que pour x > 0, on a $x + \frac{1}{x} \geq 2$ .
Montrer que pour tous réels a, b, c : $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab + b c + c a$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 1, développe $(a-b)^2$ et compare avec $a^2+b^2-2ab$.

2 Indice 2

Pour la question 2, applique le résultat de la question 1 en remplaçant $a$ par $\sqrt{a}$ et $b$ par $\sqrt{b}$.

3 Indice 3

Pour les questions 3 et 4, applique respectivement l'inégalité de la question 2 avec $a=x, b=\frac{1}{x}$, puis le résultat de la question 1 à trois paires $(a,b)$, $(b,c)$, $(c,a)$ et additionne.

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