Arrêt à deux tirages identiques : loi du rang d'arrêt

Énoncé

Une urne contient $4$ boules indiscernables au toucher : une blanche et trois rouges. On tire au hasard une boule, on note sa couleur et on la remet dans l'urne. On répète ce procédé jusqu'à obtenir deux boules successives de même couleur, puis on s'arrête. Soit $X$ la variable aléatoire égale au rang du tirage où l'expérience s'arrête.

1. Calculer $P(X=2)$ et $P(X=3)$.

2. Montrer que pour $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ : $P(X=2k)=\frac{5}{8}{\left(\frac{3}{16}\right)}^{k-1}$ et $P(X=2k+1)={\left(\frac{3}{16}\right)}^k$.