Loi normale et intervalle de confiance

Exercice 4 — Poids des oranges de Souss

Le poids (en grammes) des oranges produites dans la région du Souss suit une loi normale de moyenne $\mu =180$ g et d'écart-type $\sigma =20$ g. On note $X$ cette variable aléatoire.

1. Calculer $P(160\le X\le 200)$. Interpréter ce résultat.

2. Calculer $P(X>210)$. (Arrondir à $10^{-4}$.)

3. Déterminer la valeur $a$ telle que $P(X\le a)=0,9772$.

4. Un exportateur prélève un échantillon de $n=400$ oranges et observe que 84 d'entre elles ont un poids inférieur à 150 g. Soit $f$ la fréquence observée de ce caractère dans l'échantillon.

• a) Calculer $f$.
• b) Donner un intervalle de confiance au niveau 95 % pour la proportion réelle $p$ d'oranges de poids inférieur à 150 g dans la production. (On rappelle que l'intervalle de confiance au niveau 95 % est : $I=[f-\frac{1}{\sqrt{n}};f+\frac{1}{\sqrt{n}}]$.)
• c) La valeur théorique $P(X<150)$ est-elle compatible avec cet intervalle ? Calculer $P(X<150)$ pour répondre.