Énoncé Pour tout réel x , on pose f ( x ) = 2 sin 2 x − sin x − 1 . Calculer f ( 3 2023 π ) . Montrer que f ( π − x ) = f ( x ) pour tout réel x . Vérifier que f ( x ) = ( 2 sin x + 1 ) ( sin x − 1 ) , puis résoudre dans [ 0 ; 2 π [ l'équation f ( x ) = 0 .

Étude de f(x) = 2sin²x − sin x − 1

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

Pour tout réel $x$ , on pose $f (x) = 2 sin^{2} x - sin x - 1$ .

Calculer $f (\frac{2023 π}{3})$ .
Montrer que $f (π - x) = f (x)$ pour tout réel $x$ .
Vérifier que $f (x) = (2 sin x + 1) (sin x - 1)$ , puis résoudre dans $[0; 2 π [$ l'équation $f (x) = 0$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 1, réduis l'angle $\dfrac{2023\pi}{3}$ modulo $2\pi$ en écrivant $2023$ sous la forme $6q+r$.

2 Indice 2

Pour la question 2, utilise la formule $\sin(\pi-x)=\sin x$ et remplace directement dans l'expression de $f$.

3 Indice 3

Pour la question 3, développe le produit $(2\sin x+1)(\sin x-1)$ pour retrouver $f(x)$, puis utilise le fait qu'un produit est nul si l'un des facteurs est nul.

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